Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標為（a+kb，ka+b）（其中k為常數，且k≠0），

則稱點P′為點P的“k屬派生點”．例如：P（1，4）的“2屬派生點”為P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．

（Ⅰ）點P（﹣2，3）的“3屬派生點”P′的坐標為　 　；

（Ⅱ）若點P的“5屬派生點”P′的坐標為（3，﹣9），求點P的坐標；

（Ⅲ）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′點，且線段PP′的長度為線段OP長度的2倍，求k的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（7，﹣3）；（Ⅱ）點P（﹣2，1）（Ⅲ）k=±2

【解析】

（Ⅰ）根據“k屬派生點”計算可得；（Ⅱ）設點P的坐標為（x、y），根據“k屬派生點”定義及P′的坐標列出關于x、y的方程組，解之可得；（Ⅲ）先得出點P′的坐標為（a，ka），由線段PP′的長度為線段OP長度的2倍列出方程，解之可得．

（Ⅰ）點P（﹣2，3）的“3屬派生點”P′的坐標為（﹣2+3×3，﹣2×3+3），即（7，﹣3），

故答案為：（7，﹣3）；

（Ⅱ）設P（x，y），

依題意，得方程組：，

解得，

∴點P（﹣2，1）．

（Ⅲ）∵點P（a，b）在x軸的正半軸上，

∴b=0，a＞0．

∴點P的坐標為（a，0），點P′的坐標為（a，ka），

∴線段PP′的長為點P′到x軸距離為|ka|，

∵P在x軸正半軸，線段OP的長為a，

根據題意，有|PP'|=2|OP|，

∴|ka|=2a，

∵a＞0，

∴|k|=2．

從而k=±2．