Question

【題目】如圖1，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H．

（1）求證：EB=GD且EB⊥GD；
（2）若AB=2，AG=，求的長；

（3）如圖2，正方形AEFG繞點A逆時針旋轉連結DE，BG，與的面積之差是否會發生變化？若不變，請求出與的面積之差；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2) ；(3)不變，與的面積之差為0

【解析】

(1)在△GAD和△EAB中，∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，得到∠GAD=∠EAB，從而△EAB≌△GAD，即EB=GD；由∠AEB=∠AGD，∠EOH=∠AOG，即可得出∠EHG=∠EAG=90°；
(2)設BD與AC交于點O，由AB=AD=2，在Rt△ABD中求得DB，在Rt△GOD中利用勾股定理即可求得結果；

(3)作BQ⊥GA交GA的延長線于Q，作DP⊥EA交EA于P，可證得∠1=∠2，根據“AAS”可判斷△PDA≌△QBA，所以PD=BQ，然后根據三角形面積公式得到，保持不變．

(1)如圖1，

∵四邊形EFGA和四邊形ABCD是正方形，
∴AG=AE，AB=AD，∠EAG=90°，∠DAB=90°，

∠GAD=90°+∠EAD，∠EAB=90°+∠EAD，
∴∠GAD=∠EAB，

在△EAB和△GAD中，

，
∴△EAB≌△GAD(SAS)，
∴EB=GD；∠AEB=∠AGD，
∵∠EOH=∠AOG，
∴∠EHG=∠EAG=90°，
∴EB=GD且EB⊥GD；
(2)如圖2，連接BD，BD與AC交于點O，

∵AB=AD=2，

在Rt△ABD中，，

∴AO=DO=，

∴，

∴；

(3)不變，．理由如下：

作BQ⊥GA交GA的延長線于Q，作DP⊥EA交EA于P，如圖3，

正方形ABCD和正方形AEFG中，

∠EAG=∠DAB=90°，AD=AB，

∴∠EAD+∠BAG+∠EAG+∠DAB =360，則∠BAG=180°-∠EAD，

∵∠1=90°-∠EAD，∠2=∠BAG -90°=180°-∠EAD -90°=90°-∠EAD，

∴∠1=∠2，

在△PDA和△QBA中，

，

∴△PDA≌△QBA(AAS)，

∴DP=BQ，

∵，，

∴．