Question

36、在日常生活中，觀察各種建筑物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．也就是說，使用給定的某些正多邊形，能夠拼成一個平面圖形，既不留下-絲空白，又不互相重疊（在幾何里叫做平面鑲嵌）．這顯然與正多邊形的內角大小有關．當圍繞一點拼在一起的幾個多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角（360°）時，就拼成了一個平面圖形．

（1）請根據下列圖形，填寫表中空格：

（2）如圖，如果限于用一種正多邊形鑲嵌，哪幾種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖形；
（3）正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，再在其他正多邊形中選一種，請畫出用這兩種不同的正多邊形鑲嵌成的一個平面圖形（草圖）；并探索這兩種正多邊形共能鑲嵌成幾種不同的平面圖形？說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）利用正多邊形一個內角=180-$frac{360}{n}$求解；
（2）進行平面鑲嵌就是在同一頂點處的幾個多邊形的內角和應為360°，因此我們只需驗證360°是不是上面所給的幾個正多邊形的一個內角度數的整數倍；
（3）常見的兩種正多邊形的密鋪組合有：正三角形和正四邊形能密鋪，正六邊形只能和正三角形密鋪．所以要從正三角形、正四邊形、正六邊形中選一種，只能選擇正四邊形．

解答：解：（1）由正n邊形的內角的性質可分別求得正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、、正n邊形的每一個內角為：60°，90°，108°，120°，…（n-2）•180°n；

（2）如限于用一種正多邊形鑲嵌，則由一頂點的周圍角的和等于360°得正三角形、正四邊形（或正方形）、正六邊形都能鑲嵌成一個平面圖形；

（3）如：正方形和正八邊形（如圖），設在一個頂點周圍有m個正方形的角，n個正八邊形的角，那么m，n應是方程m•90°+n•135°=360°的正整數解．即2m+3n=8的正整數解，只有m=1，n=2一組，∴符合條件的圖形只有一種．

點評：求正多邊形一個內角度數，可先求出這個外角度數，讓180減去即可．一種正多邊形的鑲嵌應符合一個內角度數能整除360°；兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．