Question

（2008•安徽）如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點R為DE的中點，BR分別交AC、CD于點P、Q．
（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；
（2）求BP：PQ：QR．

Answer 1

【答案】分析：此題的圖形比較復雜，需要仔細分析圖形．
（1）根據平行四邊形的性質，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
（2）根據AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根據相似三角形的性質，對應邊成比例即可得出所求線段的比例關系．
解答：解：（1）∵四邊形ACED是平行四邊形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．

（2）∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位線，
∴BP=PR，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵點R是DE中點，
∴DR=RE．
，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2
點評：此題考查了相似三角形的判定和性質：
①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；
②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；
③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．