Question

如圖，直角坐標系中，已知點A（3，0），B（t，0）（0＜t＜

3

2

），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點E是直線OC與正方形ABCD的外接圓除點C以外的另一個交點，連接AE與BC相交于點F．
（1）求證：△OBC≌△FBA；?
（2）一拋物線經過O、F、A三點，試用t表示該拋物線的解析式；?
（3）設題（2）中拋物線的對稱軸l與直線AF相交于點G，若G為△AOC的外心，試求出拋物線的解析式；?
（4）在題（3）的條件下，問在拋物線上是否存在點P，使該點關于直線AF的對稱點在x軸上？若存在，請求出所有這樣的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）這兩個三角形中，已知的條件有∠BCE=∠BAE（圓周角定理），一組直角，BC=AB，因此構成了全等三角形的判定條件，因此兩三角形全等．
（2）本題的關鍵是求出F的坐標，根據（1）的全等三角形可得出OB=BF=t，由此可得出F的坐標，然后代入拋物線中即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）易知：正方形的邊長為3-t，因此C（t，3-t），可設G的坐標為（1.5，b），根據GO=GC可用t表示出G的縱坐標，然后代入拋物線的直線AF的即解析式中即可求出t的值．即能確定出拋物線的解析式．
（4）根據（3）得出的條件，易證得CF：BF=AC：AB=

2

，根據三角形內角平分線判定定理，可得出AF是∠CAB的角平分線，如果存在P點，那么P必為拋物線與直線AC的交點，可聯立兩個函數的解析式求出交點坐標即可．

解答：解：（1）證明：∵∠BCE=∠BAE，∠FAB=∠OBC=90°，AB=BC
∴△OBC≌△FBA．

（2）由（1）易知：OF=OB=t，
因此F（t，t），
設拋物線的解析式為y=ax（x-3），
則有：t=at（t-3），a=

1

t-3

，
∴拋物線的解析式為y=

1

t-3

x²-

3

t-3

x．

（3）易知：C（t，3-t）
設G點坐標為（

3

2

，h），由于GC=OG，
則有（

3

2

-t）²+（h-3+t）²=（

3

2

）²+h²
解得h=

3-2t

2

．
設直線AF的解析式為y=kx+b，
則有：

kt+b=t 3k+b=0

，
解得

k= t t-3 b= 3t 3-t

，
∴直線AF的解析式為y=

t

t-3

x-

3t

t-3

．
由于直線AF過G點，
則有當x=

3

2

時，

3-2t

2

=

t

t-3

×

3

2

-

3t

t-3

，
解得t=

6±3 2

2

，
由于0＜t＜

3

2

，
∴t=

6-3 2

2

∴拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

2

x．

（4）由（3）知，BF=t=

6-3 2

2

=

2

（3

2

-3），CF=3-2t=3

2

-3．
∴

CF

BF

=

AC

AB

=

2

∴AF是∠CBA的角平分線，
∴若存在P點，則P點必為直線AC與拋物線的交點．
易知：直線AC的解析式為：y=-x+3．
則有

y=-x+3 y=- 2 3 x2+ 2 x

，
解得

x=3 y=0

，

x= 3 2 2 y= 6-3 2 2

，
∴存在P點，其坐標為（

3 2

2

，

6-3 2

2

）．

點評：本題主要考查了正方形的性質、圓、全等三角形的判定、軸對稱圖形等知識點．綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．