Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，點E為BC的中點，AE⊥DE．

（1）求證：△ABE∽△ECD；

（2）求證：AE2＝AB·AD；

（3）若AB＝1，CD＝4，求線段AD，DE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）10.

【解析】試題分析：（1）根據垂直的定義和直角三角形的性質，求出∠BAE=∠CED，然后利用兩角對應相等的兩三角形相似可證；

（2）根據相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例，以及兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，可證明結論；

（3）根據相似三角形的性質，由（2）的結論△ABE∽△AED得到對應邊成比例，然后根據勾股定理求解.

試題解析：(1)證明：∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED=180°-90°=90°，

∵∠ABC＝90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CED.

又∵∠ABC＝∠BCD，∴△ABE∽△ECD．

(2) ∵△ABE∽△ECD，∴ ．

∵點E為BC的中點，∴BE＝EC．

∴．

又∵∠ABC＝∠AED＝90°，∴△ABE∽△AED，

∴，∴AE2＝AB·AD．

(3)∵△ABE∽△ECD，∴ ．

∵AB＝1，CD＝4，BE＝EC，∴BE2＝AB·CD＝4．

由勾股定理，得AE2＝AB2+ BE2=5．

∵AE2＝AB·AD，∴．

由勾股定理，得．