Question

【題目】2017年是某市大力推進居民生活垃圾分類的關鍵一年，有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖所示：
（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態分布N（μ，210），μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數據用該區間的中點值作代表），利用該正態分布，求P（50.5＜Z＜94）．
（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案： ①得分不低于μ可獲贈2次隨機話費，得分低于μ則只有1次；
②每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

贈送話費（單位：元）	10	20
概率

現有一位市民要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列．
附： ≈14.5
若Z～N（μ，δ2），則P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

Answer 1

【答案】
（1）解：E（Z）=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=65，

∴μ=65，δ= ≈14.5，

∴P（50.5＜Z＜79.5）=0.6826，P（36＜Z＜94）=0.9544，

∴P（79.5＜Z＜94）= =0.1359，

∴P（50.5＜Z＜94）=P（50.5＜Z＜79.5）+P（79.5＜Z＜94）=0.6826+0.1359=0.8185．

（2）P（Z＜μ）=P（Z≥μ）= ，

X的可能取值為為{10，20，30，40}，

P（X=10）= = ，P（X=20）= + × × = ，

P（X=30）= × × + = ，P（X=40）= = ．

∴X的分布列為：

X	10	20	30	40
P

【解析】（1）使用加權平均數公式計算；（2）利用相互獨立事件的概率公式計算各個概率，再列表即可．
【考點精析】掌握頻率分布直方圖是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．