Question

如圖，在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，直線交x軸于點A，交y軸于點B，BD平分∠AB0，點C是x軸的正半軸上一點，連接BC，且AC=AB．

（1）求直線BD的解析式：
（2）過C作CH∥y軸交直線AB于點H，點P是射線CH上的一個動點，過點P作PE⊥CH，直線PE交直線BD于E、交直線BC于F，設線段EF的長為d(d≠0)，點P的縱坐標為t，求d與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，取線段AB的中點M，y軸上有一點N．試問：是否存在這樣的t的值，使四邊形PEMN是平行四邊形，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）當0≤＜6時，，當＞6時，；（3）2

試題分析：（1）先求出直線與坐標軸的交點坐標，即可求得AO、BO的長，在Rt△AOB中，根據勾股定理可以求得AB的長，過點D作DG⊥AB于點G，根據角平分線的性質可求得OD=DG，設OD=DG=，由根據三角形的面積公式即可列方程求得a的值，從而可以求得點D的坐標，設直線BD的解析式為，將B（0，6），D（-3，0）代入即可求得結果；
（2）由AC=AB=10，OA=8可求得OC的長，即可得到點C的坐標，設直線BC的解析式為，將B（0，6），C（2，0）代入即可求得直線BC的解析式，由CH//軸，點P的縱坐標為，所以當時，有或，即可表示出點E、F的坐標，再分當0≤＜6時，當＞6時兩種情況分析；
（3）由點M為線段AB的中點易求得點M的坐標，即可求得MN的長，根據平行四邊形的性質可得MN//PE，MN=PE=4，由（2）得：E（，），P（2，），再根據PE==4，即可求得結果.
解：（1）當時，，，當時， 
∴A（-8，0），B（0，6） 
∴AO=8，OB=6
在Rt△AOB中，，所以AB=10
過點D作DG⊥AB于點G

∵BD平分∠ABO，OB⊥OA  
∴OD=DG
設OD=DG=
∵
∴
即，解得  
∴D（-3，0）
設直線BD的解析式為
將B（0，6），D（-3，0）代入得：
  解得：
∴直線BD的解析式為

（2）∵AC=AB=10，OA="8"
∴OC=10-8=2 
∴C（2，0）
設直線BC的解析式為

將B（0，6），C（2，0）代入
   解得：
∴直線BC的解析式為
∵CH//軸，點P的縱坐標為
∴當時，有或
∴或
∴E（，），F（，）
①當0≤＜6時，EF=，解得
②當＞6時，EF=，解得；
（3）由點M為線段AB的中點

易求：M（-4，3）
∴MN=4
∵四邊形PEMN是平行四邊形
∴MN//PE，MN=PE=4
由（2）得：E（，），P（2，）
∴PE==4，解得="2"
∴存在這樣的=2，使得四邊形PEMN是平行四邊形.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.