Question

如圖，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①當t=

5

2

時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點坐標，又拋物線經過原點，用待定系數可求出拋物線解析式；
（2）①根據拋物線的對稱性求出E點坐標，再求出直線ME的解析式，把t知代入驗證點P是否在直線ME上；
②最后一問設出P，N坐標，根據幾何關系求出PN，然后分兩種情況討論：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多邊形面積S轉化為求函數最值問題．

解答：解：（1）因所求拋物線的頂點M的坐標為（2，4），
故可設其關系式為y=a（x-2）²+4（1分）
又∵拋物線經過O（0，0），
∴得a（0-2）²+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函數關系式為y=-（x-2）²+4，
即y=-x²+4x．（4分）

（2）①點P不在直線ME上．（5分）
根據拋物線的對稱性可知E點的坐標為（4，0），
又M的坐標為（2，4），
設直線ME的關系式為y=kx+b．
于是得

4k+b=0 2k+b=4

，
解得

k=-2 b=8

所以直線ME的關系式為y=-2x+8．（6分）
由已知條件易得，當t=

5

2

時，OA=AP=

5

2

，
∴P（

5

2

，

5

2

）（7分）
∵P點的坐標不滿足直線ME的關系式y=-2x+8．
∴當t=

5

2

時，點P不在直線ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t．
∴點P，N的坐標分別為（t，t）、（t，-t²+4t）
∴AN=-t²+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t²+3t（10分）
（ⅰ）當PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，
∴S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3．（11分）
（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=

1

2

（CD+PN）•AD=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3=-（t-

3

2

）²+

21

4

其中（0＜t＜3），由a=-1，0＜

3

2

＜3，此時S_最大=

21

4

．（12分）
綜上所述，當t=

3

2

時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最大值，這個最大值為

21

4

．（13分）
說明：（ⅱ）中的關系式，當t=0和t=3時也適合．

點評：此題考查用待定系數求函數解析式，用到頂點坐標，第二問是研究動點問題，點動圖也動，根據幾何關系巧妙設點，把面積用t表示出來，轉化為函數最值問題．