Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上另一點A，它的對稱軸x=2與x軸交于點C，直線y=-2x-1經過拋物線上一點B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于點D、E，
（1）求m的值及該拋物線對應的函數關系式；
（2）求證：①CB=CE；②D是BE的中點．

Answer 1

分析：（1）將B點代入直線解析式得出m的值，然后得出點A及點B的坐標，利用待定系數法求出函數解析式即可．
（2）過點B作BF⊥CE于點F，交y軸于點H，則可得BH=2，HF=2，繼而由DH∥EF，可得出DH是△BEF的中位線，從而①、②均可得證．

解答：解：（1）∵點B（-2，m）在直線y=-2x-1上，
∴m=-2×（-2）-1=3，
由題意得，二次函數的對稱軸為x=2，
則可得點A的坐標為（4，0），
設二次函數解析式為：y=ax²+bx，
則可得：

16a+4b=0 4a-2b=3

，
解得：

a= 1 4 b=-1

，
故拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-x．

（2）過點B作BF⊥CE于點F，交y軸于點H，

∵點E是x=2與y=-2x-1的交點，
∴點E的坐標為（2，-5），
故可得CE=5，
根據點B的坐標可得BH=2，CF=3，HF=2，
則BC=

BF2+CF2

=5，
即可得CB=CE．
又∵HD∥EF，BH=HF=2，
∴DH是△BEF的中位線，
即可得D是BE的中點．

點評：此題屬于二次函數綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、三角形中位線的性質、點的坐標與線段長度的轉化，綜合性較強，解答本題注意各知識點的融會貫通．