Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在y軸上，邊AC與x軸交于點D，AE平分∠BAC交邊BC于點E，經過點A、D、E的圓的圓心F恰好在y軸上，⊙F與y軸相交于另一點G．
（1）求證：BC是⊙F的切線；
（2）若點A、D的坐標分別為A（0，﹣1），D（2，0），求⊙F的半徑；
（3）試探究線段AG、AD、CD三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接EF，

∵AE平分∠BAC，

∴∠FAE=∠CAE，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA，

∴∠FEA=∠EAC，

∴FE∥AC，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切線

（2）解：連接FD，

設⊙F的半徑為r，

則r2=（r﹣1）2+22，

解得，r= ，即⊙F的半徑為 ；

（3）解：AG=AD+2CD．

證明：作FR⊥AD于R，

則∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，

∴四邊形RCEF是矩形，

∴EF=RC=RD+CD，

∵FR⊥AD，

∴AR=RD，

∴EF=RD+CD= AD+CD，

∴AG=2FE=AD+2CD

【解析】（1）連接EF，根據角平分線的定義、等腰三角形的性質得到∠FEA=∠EAC，得到FE∥AC，根據平行線的性質得到∠FEB=∠C=90°，證明結論；（2）連接FD，設⊙F的半徑為r，根據勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR⊥AD于R，得到四邊形RCEF是矩形，得到EF=RC=RD+CD，根據垂徑定理解答即可．