Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，點P是AD的中點，點E在BC上，CE＝2BE，點M、N在線段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，則MN＝______．

Answer 1

【答案】6或

【解析】

分兩種情況：①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN于F，則∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性質得出AB=CD，BC=AD=3AB=，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=，BD=，證明△PDF∽△BDA，得出，求出PF=，證出CE=2CD，由等腰三角形的性質得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，證出△PNF∽△DEC，得出=2，求出NF=2PF=3，即可得出答案；

②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD于F，由①得：PF=，MF=3，設MN=PN=x，則FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解：分兩種情況：

①MN為等腰△PMN的底邊時，作PF⊥MN于F，如圖1所示：

則∠PFM＝∠PFN＝90°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝3AB＝3，∠A＝∠C＝90°，

∴AB＝CD=，BD=，

∵點P是AD的中點，

∴PDAD，

∵∠PDF＝∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴，即，

解得：PF，

∵CE＝2BE，

∴BC＝AD＝3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角與∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，

∵∠PFN＝∠C＝90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴，

∴MF＝NF＝2PF＝3，

∴MN＝2NF＝6；

②MN為等腰△PMN的腰時，作PF⊥BD于F，如圖2所示：

由①得：PF，MF＝3，

設MN＝PN＝x，則FN＝3﹣x，

在Rt△PNF中，（）2+（3﹣x）2＝x2，

解得：x，即MN；

綜上所述，MN的長為6或；

故答案為：6或．