Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD邊于點E，將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，并延長BE交DF于點G．

（1）求證：△BDG∽△DEG；

（2）若EGBG=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】（1）證明：∵將△BCE繞點C順時針旋轉到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF。∴∠FDC=∠EBC。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC。∴∠FDC=∠EBE。

又∵∠DGE=∠DGE，∴△BDG∽△DEG。

（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC，∠EBC=∠FDC。

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°，∠DBC=∠BDC=45°。

∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC。

∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°，∠F=90°﹣22.5°=67.5°=∠BDF。∴BD=BF，

∵△BCE≌△DCF，∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG。

∴∠DGB=180°﹣22.5°﹣67.5°=90°，即BG⊥DF。

∵BD=BF，∴DF=2DG。

∵△BDG∽△DEG，BG×EG=4，∴。 ∴BG×EG=DG×DG=4。∴DG=2

∴BE=DF=2DG=4。

（1）根據旋轉性質求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，根據相似三角形的判定推出即可。

（2）先求出BD=BF，BG⊥DF，求出BE=DF=2DG，根據相似求出DG的長，即可求出答案