Question

【題目】已知：如圖1．正方形ABCD，過點A作∠EAF=90°，兩邊分別交直線BC于點E，交線段CD于點F，G為AE中點，連接BG

（1）求證：△ABE≌△ADF

（2）如圖2，過點G作BG的垂線交對角線AC于點H，求證：GH=GB；

（3）如圖3，連接HF，若CH=3AH，AD=2，求線段HF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5.

【解析】試題分析：（1）如圖1中，由△ABE≌△ADF，推出∠AFD=∠E，由AG=GE，推出GB=GE=GA，推出∠E=∠GBE=∠AFD，由∠GBE+∠GBC=180°，推出∠AFD+∠GBC=180°即可；

（2）如圖2中，連接BD交AC于O，連接OG、BH、取BH的中點K，連接GK、OK．只要證明O、H、G、B四點共圓，由AG=GE，AO=OC．推出OG∥CE，推出∠GOB=∠OBC=45°，即可解決問題；

（3）如圖3中，如圖3中，設OG交AB于T，GH交AB于P．，作HM⊥DF于M．只要證明∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，推出tan∠EAB=tan∠HBO=，由CH=3AH，OA=OC=OB，推出tan∠EAB=tan∠HBO==，BE=DF=，在RtHMF中，利用勾股定理即可解決問題.

試題解析：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=∠AEF=90°，

∴∠EAB=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，∴△ABE≌△ADF，∴∠AFD=∠E，

∵AG=GE，∴GB=GE=GA，∴∠E=∠GBE=∠AFD，∵∠GBE+∠GBC=180°，∴∠AFD+∠GBC=180°；

（2）如圖2，連接BD交AC于O，連接OG、BH、取BH的中點K，連接GK、OK，

∵∠BGH=∠BOH=90°，BK=KH，∴GK=KH=OK=KB，∴O、H、G、B四點共圓，

∵AG=GE，AO=OC，∴OG∥CE，

∴∠GOB=∠OBC=45°，∴∠GOH=∠GBH=45°，∵∠BGH=90°，

∴∠GBH=∠GHB=45°， ∴GH=GB；

（3）如圖3，設OG交AB于T，GH交AB于P，作HM⊥DF于M，

∵OG∥EC，AB⊥CE，∴OG⊥AB，易證∠EAB=∠GBP=∠PGT=∠HBO，

∴tan∠EAB=tan∠HBO=，∵CH=3AH，OA=OC=OB，∴tan∠EAB=tan∠HBO==，

∵AB=AD=2，∴BE=DF=，在Rt△HMF中，易證FM=，HM=，

∴HF==5．