Question

如圖，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一點，弦AB垂直平分線段OP，點D是APB上任一點（與端點A、B不重合），DE⊥AB于點E，以點D為圓心、DE長為半徑作⊙D，分別過點A、B作⊙D的切線，兩條切線相交于點C．

（1）求弦AB的長；
（2）判斷∠ACB是否為定值，若是，求出∠ACB的大小；否則，請說明理由；
（3）記△ABC的面積為S，若，求△ABC的周長.

Answer 1

（1）AB＝．
（2）∠ACB是定值.見解析
（3）△ABC的周長為l＝8DE=．

試題分析：（1）連接OA，OP與AB的交點為F，則△OAF為直角三角形，且OA=1，OF＝，借助勾股定理可求得AF的長，然后根據AB＝2AF得出AB的值；
（2）要判斷∠ACB是否為定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的內切圓，所以AD和BD分別為∠CAB和∠ABC的角平分線，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所對的圓周角，這個值等于∠AOB值的一半；
（3）由題可知
＝AB•DE＋BC•DH＋AC•DG＝(AB＋BC＋AC) •DE，
又因為＝4，所以AB+AC+BC=8DE，由于DH=DG=DE，所以在Rt△CDH中，CH=DE，同理可得CG=DE，又由于AG=AE，BE=BH，所以AB+AC+BC=CG+CH+AG+AB+BH=2＋2DE，可得：DE=，代入AB+AC+BC=8DE，即可求得周長為．
點評：本題巧妙將垂徑定理、勾股定理、內切圓、切線長定理、三角形面積等知識綜合在一起，需要考生從前往后按順序解題，前面問題為后面問題的解決提供思路，是一道難度較大的綜合題．