Question

【題目】如圖1所示，OA是⊙O的半徑，點D為OA上的一動點，過D作線段CD⊥OA交⊙O于點F，過點C作⊙O的切線BC，B為切點，連接AB，交CD于點E．

（1）求證：CB=CE；

（2）如圖2，當點D運動到OA的中點時，CD剛好平分，求證：△BCE是等邊三角形；

（3）如圖3，當點D運動到與點O重合時，若⊙O的半徑為2，且∠DCB=45°，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）在圖1中，連接OB，根據切線的性質可得出∠OBC=90°，由OA=OB可得出∠DAE=∠OBA，根據等角的余角相等可得出∠DEA=∠CBE，再結合對頂角相等即可得出∠CEB=∠CBE，利用等角對等邊可證出CB=CE；
（2）在圖2中，連接OF，OB，在Rt△ODF中，由OF=2OD可得出∠DOF=60°，結合CD剛好平分，可得出∠AOB=2∠AOF=120°，再利用四邊形內角和為360°可求出∠C=60°，結合CB=CE即可證出△BCE是等邊三角形；
（3）在圖3中，連接OB，則△OBC為等腰直角三角形，進而可求出OC的長度，結合（1）的結論可求出OE的長度，再根據EF=DF-OE即可求出線段EF的長．

證明：（1）在圖1中，連接OB．

∵CB為⊙O的切線，切點為B，

∴OB⊥BC，

∴∠OBC=90°．

∵OA=OB，

∴∠DAE=∠OBA．

∵∠DAE+∠DEA=90°，∠OBA+∠CBE=90°，

∴∠DEA=∠CBE．

∵∠CEB=∠DEA，

∴∠CEB=∠CBE，

∴CB=CE．

（2）在圖2中，連接OF，OB．

在Rt△ODF中，OF=OA=2OD，

∴∠OFD=30°，

∴∠DOF=60°．

∵CD剛好平分，

∴∠AOB=2∠AOF=120°，

∴∠C=360°﹣∠ODC﹣∠OBC﹣∠AOB=60°．

∵CB=CE，

∴△BCE是等邊三角形．

（3）解：在圖3中，連接OB．

∵∠OBC=90°，∠DCB=45°，

∴△OBC為等腰直角三角形，

∴BC=OB=2，OC=2．

又∵CB=CE，

∴OE=OC﹣CE=OC﹣BC=2﹣2，

∴EF=DF﹣OE=2﹣（2﹣2）=4﹣2．