Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為a．直線y＝bx＋c交x軸于E,交y軸于F,且a,b,c分別滿足：-（a－4）2≥0，c=++8．

（1）直線y＝bx＋c的解析式為________；正方形OABC的對角線的交點D的坐標為________；

（2）若正方形OABC沿x軸負方向以每秒移動1個單位長度的速度平移，設平移的時間為t秒，問是否存在t的值，使直線EF平分正方形OABC的面積？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）點P為正方形OABC的對角線AC上的動點（端點A、C除外），PM⊥PO，交直線AB于M，在備用圖中畫圖分析，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+8， D（2，2）；（2）t=5；（3）.

【解析】

（1）由已知條件易得：a=4，b=2，c=8，由此即可得到直線EF的解析式為：y=2x+8，點B的坐標為（4，4），結合點D是正方形OABC對角線的交點可得點D的坐標為（2，2）；

（2）由點D是正方形OABC的對稱中心可知，當點D落在直線EF上時，直線EF平分正方形OABC的面積，由已知條件設當點D落在EF上時的坐標為（2-t，2），將此坐標代入直線EF的解析式即可求得對應的t的值；

（3）如圖2，過P點作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，結合已知條件易證四邊形PNCG是正方形，四邊形PGBQ是矩形，四邊形OHGC是矩形，PH=PQ，∠OPH=∠MPQ，由此證得△OPH≌△MPQ，從而可得QM=OH=CG=GP=BQ=BM，結合PC=GP即可得到PC=BM，由此即可得到.

（1）∵，

∴且，

∴b=2，c=8，

∴直線y=bx+c的解析式為：y=2x+8；

∵，

∴ ，

∴a=4，

∴OA=AB=4，

∴點B的坐標為（4，4），

∴點D是正方形OABC對角線的交點，

∴點D是線段OB的交點，

∴點D的坐標為（2，2）；

（2）存在，理由如下：

如圖1，∵點D是正方形OABC的對角線的交點，

∴過點D的直線都能把正方形AOCB的面積分成相等的兩部分，

∴當正方形AOCB平移到直線EF過D點時，直線正好平分正方形的面積，

設平移后的D點坐標為（2-t，2），

把它代入直線y=2x+8，2（2-t）+8=2，

解得：t=5；

（3）如圖2，過P點作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，

∵∠OPM=∠HPQ=90°，

∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，

∴∠OPH=∠MPQ，

∵AC為∠BAO平分線，且PH⊥OA，PQ⊥AB，

∴PH=PQ，

在△OPH和△MPQ中：

∴△OPH≌△MPQ（AAS），

∴OH=QM，

∵PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，四邊形AOBC是正方形，

∴易得四邊形CNPG為正方形，四邊形PGBQ是矩形，四邊形OHGC是矩形，

∴PG=BQ=CG=OH=QM，

∴PG=BM，

∵在正方形CNPG中，PC=PG，

∴PC=BM，

∴.