Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．
解答下列問題：
（1）當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖甲，線段CF、BD之間的位置關系為 ， 數量關系為 ．
（2）當點D在線段BC的延長線上時，如圖乙，①中的結論是否仍然成立，為什么？

Answer 1

【答案】
（1）垂直；相等
（2）解：當點D在BC的延長線上時①中的結論仍成立．

理由：∵四邊形ADEF是正方形，

∴∠DAF=90°，AD=AF，

∴∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC，

即∠BAD=∠CAF，

在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴CF=BD，

∴∠B=∠ACF，

∵∠B+∠BCA=90°，

∴∠BCA+∠ACF=90°，

即CF⊥BD

【解析】解：（1）結論：垂直，相等． 理由∵四邊形ADEF是正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴CF=BD，
∴∠B=∠ACF，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠BCA+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；
所以答案是：垂直，相等；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．