Question

如圖所示, 在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BD，設MN交∠BCA的平分線于點E, 交∠BCA的外角平分線于點F。

（1）求證：EO = FO。

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形，并加以證明。

（3）滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形，并加以證明。

Answer 1

證明：（1）∵MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。

∴∠ECO = ∠BCE，∠DCF = ∠OCF

又∵直線MN ∥BC，

∴∠BCE = ∠CEO，∠DCF = ∠CFO

∴∠ECO = ∠CEO，∠CFO = ∠OCF

∴EO = CO，CO = FO

∴ EO = FO               

（2）當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，

證明：當EO = FO時，O為EF的中點，

而當O為AC的中點時，說明四邊形AECF是平行四邊形

由（1）可知CO =EF，而CO =AC

∴EF = AC，所以四邊形AECF是矩形。

（3）當點O運動到AC中點且∠ACB = 90°，四邊形AECF是正方形。

證明：當∠ACB = 90°，∠CEO = ∠CFO = 45°

∴EC = CF，而當點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形

∴四邊形AECF是正方形。