Question

【題目】將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形（）對角線交點旋轉（如圖①→②→③），、分別為直角三角板的直角邊與矩形的邊、的交點．

（1）發現：在圖①中，當三角板的一直角邊與重合，易證，

證明方法如下：連接，

∵為矩形

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

在圖③中，當三角板的一直角邊與重合，求證：．

（2）根據以上學習探究：圖②中、、、這四條線段之間的數量關系，寫出你的結論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）BN2+DM2=CM2+CN2，理由見詳解

【解析】

（1）連接，由中垂線的性質得，由勾股定理得，進而即可得到結論；

（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，易證△BON≌△DOP，結合中垂線的性質得PM=MN，由勾股定理得PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，進而即可得到結論．

（1）連接，如圖③，

∵四邊形為矩形，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∵AB=CD，

∴；

（2）BN2+DM2=CM2+CN2，理由如下：

如圖②，延長NO交AD于點P，連接PM，MN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OD=OB，AD∥BC，

∴∠DPO=∠BNO，∠PDO=∠NBO，

在△BON和△DOP中，

∵，

∴△BON≌△DOP(AAS)，

∴ON=OP，BN=PD，

∵∠MON=90°，即：OM是線段PN的中垂線，

∴PM=MN，

∵∠PDM=∠NCM=90°，

∴PM2=PD2+DM2，MN2=CM2+CN2，

∴PD2+DM2=CM2+CN2，

∴BN2+DM2=CM2+CN2．