Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，8），直線l經過原點O，與拋物線的一個交點為D（6，8）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸與直線l交于點E，點T為x軸上方的拋物線上的一個動點．
①當∠TEC=∠TEO時，求點T的坐標；
②直線BT與y軸交于點P，與直線l交于點Q，當OP=OQ時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把C、D兩點的坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+3x+8

（2）

解：①∵y=﹣ x2+3x+8=﹣ （x﹣3）2+ ，

∴拋物線對稱軸為x=3，

設直線l解析式為y=kx，

把D（6，8）代入可得8=6k，解得k= ，

∴直線l的解析式為y= x，

∴E（3，4），

∵O（0，0），C（0，8），

∴OE=CE，

∴點E在線段OC的垂直平分線上，

∵∠TEC=∠TEO，

∴TE∥x軸，

∴T的縱坐標為4，

在y=﹣ x2+3x+8中，令y=4可得4=﹣ x2+3x+8，解得x=3+ 或x=3﹣ ，

∴T的坐標為（3+ ，4）或（3﹣ ，4）；

②在y=﹣ x2+3x+8中，令y=0可得0=﹣ x2+3x+8，解得x=﹣2或x=8，

∴B（8，0），

∵E（3，4），

∴OE=5，

如圖2，過點E作BP的平行線，交y軸于點F，交x軸于點H，

∴ = ，

∵OP=OQ，

∴OF=OE=5，

∴F（0，5），

∴可設直線PB的解析式為y=kx+5，

把E點坐標代入可得4=3k+5，解得k=﹣ ，

∴直線EF的解析式為y=﹣ x+5，

∴可設直線PB的解析式為y=﹣ x+m，

把B點坐標代入可得0=﹣ ×8+m，解得m= ，

∴P點坐標為（0， ）

【解析】（1）由C、D坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）①可先求得拋物線的對稱軸和直線l的解析式，則可求得E點坐標，由條件可證得TE∥x軸，則可求得T點縱坐標，代入拋物線解析式，可求得T點坐標；②過E作BP的平行線，交y軸于點F，交x軸于點H，利用平行線分線段成比例可求得OF=OE，可求得F點坐標，則可求得直線EF的解析式，則可設出直線PB的解析式，把B點代入可求得直線PB解析式，可求得P點坐標．