Question

【題目】如圖1，圖2中，正方形ABCD的邊長為6，點P從點B出發沿邊BC—CD以每秒2個單位長的速度向點D勻速運動，以BP為邊作等邊三角形BPQ，使點Q在正方形ABCD內或邊上，當點Q恰好運動到AD邊上時，點P停止運動。設運動時間為t秒（t≥0）。

（1）當t＝2時，點Q到BC的距離＝_____；

（2）當點P在BC邊上運動時，求CQ的最小值及此時t的值；

（3）若點Q在AD邊上時，如圖2，求出t的值；

（4）直接寫出點Q運動路線的長。

Answer 1

【答案】（1） ；（2）t=,CQ=3;(3) ;(4)

【解析】試題分析：過點作用三角函數的知識即可求出點Q到BC的距離，

點P在BC邊上運動時，有，根據垂線段最短，當時，CQ最小，作圖，求解即可.

若點Q在AD邊上，則證明Rt△BAQ≌Rt△BCP，

根據列出方程求解即可.

點Q運動路線的長等于點運動的路線長：

試題解析：如圖：

過點作

當時，

是等邊三角形，

故答案為：

點P在BC邊上運動時，有，根據垂線段最短，當時，CQ最小，

如圖，在直角三角形BCQ中，，

∴

∴

∴

（3）若點Q在AD邊上，則

∵

∴Rt△BAQ≌Rt△BCP（HL）,

∴

∴

∵，且由勾股定理可得，

∴

解得：（不合題意，舍去），

∴.

（4）點Q運動路線的長等于點運動的路線長：