Question

【題目】模型介紹：古希臘有一個(gè)著名的“將軍飲馬問題”，大致內(nèi)容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸側(cè)的兩個(gè)軍營(yíng)A、B，他總是先去A營(yíng)，再到河邊飲馬，之后再去B營(yíng)，如圖①，他時(shí)常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？

大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱的方法巧妙的解決了這問題.

如圖②，作B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的位置．

請(qǐng)你在下列的閱讀、應(yīng)用的過程中，完成解答．

（1）理由：如圖③，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，

∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，

∴CB=_______，C′B=_______.

∴AC+CB=AC+CB′=_______．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′，即AC+CB最小.

歸納小結(jié)：

本問題實(shí)際是利用軸對(duì)稱變換的思想，把A、B在直線的同側(cè)問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中C為AB′與l的交點(diǎn)，即A、C、B′三點(diǎn)共線）．

本問題可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問題的數(shù)學(xué)模型．

（2）模型應(yīng)用

①如圖 ④，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動(dòng)點(diǎn)，求EF+FB的最小值.

解決這個(gè)問題，可以借助上面的模型，由正方形的對(duì)稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接ED交AC于F，則EF+FB的最小值就是線段DE的長(zhǎng)度，EF+FB的最小值是_______．

②如圖⑤，已知⊙O的直徑CD為4，∠AOD的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是弧AD的中點(diǎn)，在直徑CD上找一點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值是_______；

③如圖⑥，一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別為線段OA，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，求PC+PD的最小值，并寫出取得最小值時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）CB'、C'B'、AB'；（2）①；②；③，P（0，1）.

【解析】

（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行分析解答即可；

（2）①由題中所給知識(shí)可知，EF+FB的最小值就是DE的長(zhǎng)度，這樣由已知條件在Rt△ADE中求出DE的長(zhǎng)度即可；②作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB、OB′，AB′，則線段AB′的長(zhǎng)度就是所求的AP+BP的最小值，結(jié)合已知條件證得∠AOB′=90°，在Rt△AOB′中求出AB′的長(zhǎng)即可；③由已知條件先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)，連接C′D交y軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，C′D的長(zhǎng)度為所求的CP+DP的最小值，結(jié)合已知條件求出CD的長(zhǎng)度和點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

（1）理由：如圖③，在直線l上另取任一點(diǎn)C′，連接AC′，BC′，B′C′，

∵直線l是點(diǎn)B，B′的對(duì)稱軸，點(diǎn)C，C′在l上，

∴CB=CB′，C′B=C′B′.

∴AC+CB=AC+CB′=AB′．

在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，

∴AC+CB＜AC′+C′B′，即此時(shí)AC+CB最小，

故答案為：CB'，C'B'，AB'；

（2）①如圖④由題意可知：AE=1，AD=2，∠DAE=90°，

∴在Rt△ADE中，DE=；

②如圖7，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接OB、OB′，AB′，則線段AB′的長(zhǎng)度就是所求的AP+BP的最小值，

∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∠AOD=60°，

∴∠BOD=30°，

∵點(diǎn)B′和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱，

∴∠BOB′=∠BOD=30°，

∴∠AOB=60°+30°=90°，

∵AO=BO=CD=2，

∴AB′=，即AP+BP的最小值為；

③如圖8，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′D交y軸于P，則PC+PD的最小值就是線段C′D的長(zhǎng)度.

∵一次函數(shù)y=-2x+4的圖象與x，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，

∴A（2，0），B（0，4），

∵點(diǎn)C和點(diǎn)D分別是OA和AB的中點(diǎn)，

∴C（1，0），D（1，2）.

∵C與C′關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴C′（-1，0），

∴C'D=，

∴PC+PD的最小值為.

∵C'（-1，0），D（1，2），

∴直線C′D的解析式為y=x+1，

∵在y=x+1中，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．