Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（2）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE會是菱形嗎？若是，請證明；若不是，則說明理由；

（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）四邊形BCFE不可能是菱形．理由見解析；（3）當點O運動到AC等中點，且∠ACB=90°時四邊形AECF是正方形．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，先證明∠ECF=90°，再證明OC=OE=OF，利用勾股定理即可解決．

（2）如圖2中，根據直角三角形的斜邊大于直角邊即可判斷EF＞CF，由此即可判斷．

（3）先證明四邊形AECF是平行四邊形，再證明是矩形，最后證明是正方形即可．

試題解析：（1）如圖1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，

∴∠ACE=∠ECB=∠ACB，∠ACF=∠FCD=∠ACD，

∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=90°，

∴∠ECF=90°，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，

∴EO=OC=FO，

在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，

∴EF=，

∴OC=EF=．

（2）如圖2中，四邊形BCFE不可能是菱形．

由（1）可知∠ECF=90°，

∴EF＞CF，

∴四邊形BCFE不可能是菱形．

（3）如圖3中，當點O運動到AC等中點，且∠ACB=90°時四邊形AECF是正方形．

證明：由（1）可知OC=OE=OF，

∵OA=OC，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵AC=EF，

∴四邊形AECF是矩形，

∵MN∥BC，

∵∠AOE=∠ACB=90°，

∴EO⊥AC，∵OA=OC，

∴EA=EC，

∴四邊形AECF是正方形．