Question

（2012•衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分線交AC于點D，點O是AB上一點，⊙O過B、D兩點，且分別交AB、BC于點E、F．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半徑r．

Answer 1

分析：（1）連接OD．欲證AC是⊙O的切線，只需證明AC⊥OD即可；
（2）利用平行線截線段成比例推知

OD

BC

=

AO

AB

；然后將圖中線段間的和差關系代入該比例式，通過解方程即可求得r的值，即⊙O的半徑r的值．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB（等角對等邊）；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC（等量代換），
∴OD∥BC（內錯角相等，兩直線平行）；
又∵∠C=90°（已知），
∴∠ADO=90°（兩直線平行，同位角相等），
∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，OD∥BC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

（平行線截線段成比例），
∴

r

6

=

10-r

10

，
解得r=

15

4

，即⊙O的半徑r為

15

4

．

點評：本題綜合考查了切線的判定、平行線截線段成比例等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．