Question

如圖，已知O為坐標原點，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且點A的坐標為（2，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）若二次函數y=ax²+bx+c的圖象經過A、B、O三點，求此二次函數的解析式；
（3）在（2）中的二次函數圖象的OB段（不包括點O、B）上，是否存在一點C，使得四邊形ABCO的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB=

3

，過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，利用已知條件可以求出OD，BD，也就求出B的坐標；
（2）根據待定系數法把A，B，O三點坐標代入函數解析式中就可以求出解析式；
（3）設存在點C（x，-

2 3

3

x²+

4 3

3

x），使四邊形ABCO面積最大，而△OAB面積為定值，只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=

1

2

|CF|•|OE|+

1

2

|CF|•|ED|=

1

2

|CF|•|OD|=

3

4

|CF|，而|CF|=y_C-y_F=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x-

3

3

x=-

2 3

3

x²+

3

x，這樣可以得到S_△OBC=-

3

2

x²+

3 3

4

x，利用二次函數就可以求出△OBC面積最大值，也可以求出C的坐標．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB=

3

，
過點B作BD垂直于x軸，垂足為D，則OD=

3

2

，BD=

3

2

，
∴點B的坐標為（

3

2

，

3

2

）．（1分）

（2）將A（2，0）、B（

3

2

，

3

2

）、O（0，0）三點的坐標代入y=ax²+bx+c，
得

4a+2b+c=0  9 4 a+ 3 2 b+c= 3 2 c=0

（2分）
解方程組，有a=-

2 3

3

，b=

4 3

3

，c=0．（3分）
∴所求二次函數解析式是y=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x．（4分）

（3）設存在點C（x，-

2 3

3

x²+

4 3

3

x）（其中0＜x＜

3

2

），使四邊形ABCO面積最大
∵△OAB面積為定值，
∴只要△OBC面積最大，四邊形ABCO面積就最大．（5分）
過點C作x軸的垂線CE，垂足為E，交OB于點F，
則S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF=

1

2

|CF|•|OE|+

1

2

|CF|•|ED|=

1

2

|CF|•|OD|=

3

4

|CF|，（6分）
而|CF|=y_C-y_F=-

2 3

3

x²+

4 3

3

x-

3

3

x=-

2 3

3

x²+

3

x，
∴S_△OBC=-

3

2

x²+

3 3

4

x．（7分）
∴當x=

3

4

時，△OBC面積最大，最大面積為

9 3

32

．（8分）
此時，點C坐標為（

3

4

，

5 3

8

），四邊形ABCO的面積為

25 3

32

．（9分）

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形變換、解直角三角形、利用二次函數探究不規則圖形的面積最大值重要知識點，綜合性強，能力要求極高．考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．