Question

如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．在圖①中，點P是邊BC的中點，由S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC得，AB．h₁+AC．h₂=BC．h，可得h₁+h₂=h又因為h₃=0，所以：h₁+h₂+h₃=h．
圖②～⑤中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖②～⑤中，h₁、h₂、h₃、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）說明圖②所得結論為什么是正確的；
（3）說明圖⑤所得結論為什么是正確的．

Answer 1

解：（1）②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h．

（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
連接AP，
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC，
∴AB×h₁+AC×h₂=BC×h．
又h₃=0，AB=AC=BC，
∴h₁+h₂+h₃=h．

（3）圖⑤中，h₁+h₂-h₃=h．
連接PA、PB、PC，（如答圖）
則S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC．
∴AB×h_l+AC×h₂=BC×h+BC×h₃
又AB=AC=BC，
∴h₁+h₂=h+h₃．
∴h₁+h₂-h₃=h．
分析：（1）根據已知可以證得：②h_l+h₂+h₃=h；③h₁-h₂+h₃=h；④h₁+h₂+h₃=h；⑤h₁+h₂-h₃=h；
（2）連接AP，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC，由h₃=0，AB=AC=BC，即可證得h₁+h₂+h₃=h；
（3）連接PA、PB、PC，可得S_△APB+S_△APC=S_△ABC+S_△BPC，由AB=AC=BC，即可求得h₁+h₂=h+h₃，則可得h₁+h₂-h₃=h．
點評：此題考查了等邊三角形的性質與三角形面積的求解方法．此題難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用與輔助線的作法．