Question

（2007•臨夏州）[（1）-（3），10分]如圖，已知等邊△ABC和點P，設點P到△ABC三邊AB、AC、BC（或其延長線）的距離分別為h₁、h₂、h₃，△ABC的高為h．
在圖（1）中，點P是邊BC的中點，此時h₃=0，可得結論：h₁+h₂+h₃=h．
在圖（2）--（5）中，點P分別在線段MC上、MC延長線上、△ABC內、△ABC外．
（1）請探究：圖（2）--（5）中，h₁、h₂、h₃、h之間的關系；（直接寫出結論）
（2）證明圖（2）所得結論；
（3）證明圖（4）所得結論．
（4）在圖（6）中，若四邊形RBCS是等腰梯形，∠B=∠C=60°，RS=n，BC=m，點P在梯形內，且點P到四邊BR、RS、SC、CB的距離分別是h₁、h₂、h₃、h₄，橋形的高為h，則h₁、h₂、h₃、h₄、h之間的關系為：

m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h

；圖（4）與圖（6）中的等式有何關系？

Answer 1

分析：（1）圖②-⑤中的關系依次是h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h． 
（2）解直角三角形得出h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，求出h₁+h₂+h₃=ACsin60°，即可得出答案；
（3）根據三角形面積公式和等邊三角形性質得出

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，AB=BC=AC，即可得出答案；
（4）連接CP，BP，RP，過R作RQ⊥BC于Q，求出BR、CS，根據面積公式求出即可．

解答：解：（1）圖②-⑤中的關系依次是：
h₁+h₂+h₃=h； h₁-h₂+h₃=h； h₁+h₂+h₃=h；h₁+h₂-h₃=h．    
           
（2）圖②中，h₁+h₂+h₃=h．
證明：∵h₁=BPsin60°，h₂=PCsin60°，h₃=0，
∴h₁+h₂+h₃=BPsin60°+PCsin60°
=BCsin60°
=ACsin60°
=h．                                    
（3）證明：如圖，

連接AP、BP、CP，
S_△ABC=S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB，
∴

1

2

BC×AM=

1

2

AB×PD+

1

2

AC×PE+

1

2

BC×PF，
∵AB=BC=AC，
∴PD+PE+PF=AM，
即h₁+h₂+h₃=h；

（4）
連接CP，BP，RP，過R作RQ⊥BC于Q，
則RQ∥SF，
∵RS∥BC，
∴四邊形RQFS是平行四邊形，
∴RS=QF=n，
∵梯形RBCS是等腰梯形，
∴BQ=FC=

1

2

（m-n），
∵∠B=∠C=60°，
∴BR=CS=2BQ=（m-n），
∴S_梯形BCRS=S_△BRP+S_△BCP+S_△CSP+S_△RPS，
∴

1

2

•（m-n）•h₁+

1

2

•m•h₂+

1

2

•（m-n）•h₃+

1

2

•n•h₄=

1

2

（m+n）h
∴（m-n）h₁+mh₂+（m-n）h₃+nh₄=（m+n）h，
m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h，
∴圖（4）與圖（6）中的等式有當n=0時，圖形（6）的等式就變成圖形（4）的等式，
故答案為：m（h₁+h₂+h₃）-n（h₁+h₃-h₄）=（m+n）h．

點評：本題考查了三角形面積，平行四邊形性質和判定，等腰梯形性質，解直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，題目比較好，由一定的難度．