Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A，B（1，0），與軸交于點C（0，3），對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標；

(2)在對稱軸上是否存在一點M，使得△BCM周長最小？若存在，求出△BCM周長；若不存在，請說明理由；

(3)若點P是拋物線上一動點，從點C沿拋物線向點A運動，過點P作PD//軸，交AC于點D，當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，；（3）P（1,0）或（2，-1）

【解析】

（1）用待定系數法求解即可；

（2）連接AC交直線于點M，連接BM．由軸對稱的性質可知此時BM+MC=AM+MC=AC，即△ABM周長最短；

（3）分當∠APD=90°時和當∠PAD=90°時兩種情況求解即可．

解：（1）將B(1，0)，C(0，3)代入中，得

，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）存在．

連接AC交直線于點M，連接BM．

∵點A，B關于直線對稱，

∴BM=CM，

∴BM+MC=AM+MC=AC，

∴此時△ABM周長最短．

∵，

∴△ABM的周長最小為AC+BC=；

（3）由題得，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，

∴OA=OC ，∴∠CAO=45°，

當∠APD=90°時，∵PD//y軸，AB⊥y軸，

∴PD⊥AB，∴點P與點B重合，

∴P點坐標為（1，0）；

當∠PAD=90°時，則∠PAB=∠DAB=45°，

∵AB⊥PD，∴，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A(3，0)， C(0，3)代入得

，

解得

，

∴直線AC的解析式為y=-x+3，

設點D(m，-m+3)，點P(m，m2﹣4m+3)，

∴，解得（舍去），

∴P點坐標為(2，-1)，

綜上所述，P(1，0)或(2，-1)．