Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，10），點B的坐標為（5，0），點P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動，點Q從B開始在線段BO上以1單位/秒的速度移動，當其中一個點到達O時，另一點也隨即停止運動．設運動的時間為t（秒）．以P、Q為圓心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．
（1）在運動的過程中若⊙P與Rt△AOB的一邊相切，求此時動點P的坐標；
（2）若⊙P與線段AB有兩個公共點，求t的范圍；
（3）在運動的過程中，是否存在某一時刻⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分為兩種情況：當⊙P與AB相切時，OP=10-4

5

，即P₁（0，10-4

5

）；當⊙P與OB相切時，OP=4，所以P₂（0，4）；
（2）根據4≤OP＜4

5

時，⊙P與線段AB有兩個公共點，可求得

4

3

≤t＜

4 5

3

；
（3）若⊙P和⊙Q相切，則能夠形成直角三角形OPQ，根據勾股定理計算即可．

解答：解：（1）當⊙P與AB相切時，
設AP=x，則有x：5

5

=4：5，解得x=4

5

，所以OP=10-4

5

．
即P₁（0，10-4

5

）；
當⊙P與OB相切時，OP=4，所以P₂（0，4）．

（2）當4≤OP＜4

5

時，⊙P與線段AB有兩個公共點，即

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若兩圓外切，（10-3t）²+（5-t）²=25，
則t=2或t=5（舍去）；
若兩圓內切，（10-3t）²+（5-t）²=9，
t=

35± 65

10

．
只取t=2，或t=

35- 65

10

．

點評：主要考查了直線與圓的位置關系和圓與圓的位置關系．在解決此類動點問題時一定要把所有的情況考慮進去不要漏掉某種情況．先求對應線段的長度再根據速度求得時間，并會靈活運用勾股定理．