Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE．
（1）求證：四邊形BECF是菱形；
（2）當∠A的大小滿足什么條件時，菱形BECF是正方形？回答并證明你的結論．

Answer 1

1）證法一：如圖
∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，
∵CF=BE，∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；

證法二：如圖
∵EF垂直平分BC，∴BD=DC，EF⊥BC
∵BE=CF，∴△BED≌△CFD，
∴DE=DF
∴四邊形BECF是菱形；

（2）解法一：
當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．

解法二：
當∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°，
∵BE=EC，∴∠ECB=∠EBC=45°∴∠BEC=90°，
∴菱形BECF是正方形．