Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形和中，點為它們的直角頂點,當與有重疊部分時：

（1）①連接，如圖1，求證： ；

②連接，如圖2，求證： ；

（2）當與無重疊部分時：連接,如圖3，當， 時，計算四邊形面積的最大值，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ①見解析；②見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）①利用同角的余角相等證出∠ACD＝∠BCE，然后利用“SAS”證明△ACD≌△BCE即可得出結論；

②因為△ACE與△CDB的一條邊AC＝BC，所以要證兩個三角形的面積相等只要證明AC和BC邊上的高相等即可，過點E作EF⊥AC，過點D作DH⊥BC，通過證明△CEF≌△CDH即可得出結論；

（2）設△BCD的BC邊上的高為h，同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，所以S四邊形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝＋5h，而h≤CD，故當h＝CD＝2時S四邊形ABDE最大，代入h＝2求出最大值即可．

試題解析：

解：（1）①∵∠ACD＋∠BCD＝90°，∠BCE＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE；

②如圖：作EF⊥AC交AC的延長線于點F，作DH⊥BC于點H，

∵∠FCE＋∠ECH＝90°，∠HCD＋∠ECH＝90°，

∴∠FCE＝∠HCD，

∵∠EFC＝∠DHC＝90°，CE＝CD，

∴△CEF≌△CDH（AAS），

∴EF＝DH，

∵S△ACE＝AC·EF，S△CDB＝BC·DH，AC＝BC，

∴S△ACE＝S△CDB；

（2）設△BCD的BC邊上的高為h，

同（1）②的方法可得S△ACE＝S△BCD，

∴S四邊形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE＋S△BCD＝×52＋×22＋2 S△BCD ＝＋5h，

∵h≤CD，

∴當h＝CD＝2時S四邊形ABDE最大，

∴四邊形ABDE的面積最大值為＋5×2＝．