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已知：?ABCD的對角線交于點O，點P是直線BD上任意一點（異于B、O、D三點），過P點作平

行于AC的直線，交直線AD于E，交直線AB于F．
（1）若點P在線段BD上（如圖所示），試說明：AC=PE+PF；
（2）若點P在BD或DB的延長線上，試探究AC、PE、PF滿足的等量關系式（只寫出結論，不作證明）．

分析：（1）先判定四邊形AFGC是平行四邊形，再根據平行四邊形的對邊相等的性質知AC=FG；然后由被平行線所截的線段對應成比例（

）求出PE與PG的數量關系，解答到此，來證明AC=PE+PF的問題就迎刃而解了．
（2）推理類同于（1）．

解答：

證明：（1）延長FP交DC于點G，
∵AB∥CD，AC∥FG，
∴四邊形AFGC是平行四邊形，
∴AC=FG（平行四邊形的對邊相等），
∵EG∥AC，
∴

（被平行線所截的線段對應成比例）；
又∵OA=OC，
∴PE=PG，
∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；

（2）若點P在BD延長線上，AC=PF-PE．如下圖所示

若點P在DB延長線上，AC=PE-PF．如下圖所示．

．

點評：本題主要考查了平行四邊形的判定與性質．

練習冊系列答案

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11、已知四邊形ABCD的四邊分別有a，b，c，d．其中a，c是對邊且a²+b²+c²+d²=2ac+2bd，則四邊形是（　　）

A、平行四邊形

B、對角線相等的四邊形

C、任意四邊形

D、對角線互相垂直的四邊形

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2011•路北區一模）已知正方形ABCD的邊長為4，E是CD上一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、BD、FD．
（1）BD與CF的位置關系是

平行

．
（2）①如圖，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為

．
②如圖，當CE=2（即點E為CD中點）時，△BDF的面積為

．
③如圖，當CE=3時，△BDF的面積為

．
（3）如圖，根據上述計算的結果，當E是CD上任意一點時，請提出你對

△BDF面積與正方形ABCD的面積之間關系的猜想，并證明你的猜想．

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（1997•河北）命題：如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過點A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于點F，則OE=OF．
對上述命題證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
問題：對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變（如圖2），則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明現由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2009•保定一模）已知正方形ABCD的邊長為4，E是邊CD上的一個動點，以CE為一條直角邊作等腰直角三角形CEF，連接BF、FD、BD，則BD與CF的位置關系式

BD∥CF

．
（1）如圖1，當CE=4（即點E與點D重合）時，△BDF的面積為

；
（2）如圖2，當CE=2（即點E為CD的中點）時，△BDF的面積為

；
（3）如圖3，當CE=3時，△BDF的面積為

．