Question

（1997•河北）命題：如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，過點A作AG⊥EB，垂足為G，AG交BD于點F，則OE=OF．
對上述命題證明如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO．
又∵AG⊥EB，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠3．
∴∠1=∠2
∴Rt△BOE≌Rt△AOF．
∴OE=OF
問題：對上述命題，若點E在AC的延長線上，AG⊥EB，交EB的延長線于點G，AG的延長線交DB的延長線于點F，其它條件不變（如圖2），則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明現由．

Answer 1

分析：根據正方形的性質求出∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO，再根據同角的余角相等求出∠OBE=∠OAF，然后利用“角邊角”證明△AOF和△BOE全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證．

解答：解：OE=OF．
理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，BO=AO，
又∵AG⊥EB，
∴∠OAF+∠OEB=90°，
∠OEB+∠OBE=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，

∠OBE=∠OAF BO=AO ∠AOF=∠BOE=90°

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，此類題目理解并掌握題目提供的信息與思路是解題的關鍵．