Question

【題目】如圖1，在△ABC中，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD=CE，連接BD，AE相交于點F。

（1）當∠ABC=∠C=60°時，，那么；（直接寫出結論）

（2）當△ABC為等邊三角形，時，請用含n的式子表示AF，BF的數量關系，并說明理由；

（3）如圖2，在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AC=，點E在BC上，點D是AE的中點，當∠EDC=30°時，CE和DE的數量關系為。（直接寫出結論，不必證明）

Answer 1

【答案】（1）1；

（2）；

（3）CE= DE.

【解析】

（1）根據題意可先證明△ABC是等邊三角形，AE和BD是三角形的中線，由等邊三角形的性質可得∠BAE=∠ABD =30°，從而得到AF=BF，繼而可求；

（2）根據題意可設設AF=x，BF=y,AB=BC=AC=n，AD=CE=1，由題意可證明△ABD≌△CAE，從而可設BD=AE=m，然后根據題意可證明△ADF∽△BDA，△BFE∽△BCD，由相似的性質可得和，即和，繼而可求AF與BF的關系；

（3）由題意可先證明△CDE∽△ECA，再由相似的性質可得CE2=AEDE=2DE2，從而可得CE=DE.

解：（1）如圖：

∵∠ABC=∠C=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

又∵ 且AD=CE，

∴BE=EC，AD=CD，

∴∠BAE=∠BAC=30°，∠ABD=∠ABC=30°，

∴∠FAB=∠FBA，

∴AF=BF，

∴=1；

（2）如下圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，

在△ABD和△CAE中 ，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴∠DAF=∠ABD，

∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，

設AF=x，BF=y,AB=BC=AC=n，AD=CE=1，

∵△ABD≌△CAE，

∴BD=AE，∠ DAF=∠ABD，設BD=AE=m，

∵∠ADF=∠BDA，

∴△ADF∽△BDA，

∴ ,

∴ ①，

∵∠FBE=∠CBD，∠BFE=∠C=60°，

∴△BFE∽△BCD，

∴ ,

∴ ②，

① ÷②，得即 ；

（3）CE=DE.

證明：∵點D是AE的中點，

∴AE=2DE，

∵∠EDC=30°=∠ACB,∠DEC=∠CEA，

∴△CDE∽△ECA，

∴，

∴CE2=AEDE=2DE2，

∴CE=DE.