Question

【題目】在矩形中，是的中點，以點為直角頂點的直角三角形的兩邊、始終與矩形、兩邊相交，，，

（1）如圖1，當、分別過點、時，求的大小；

（2）在（1）的條件下，如圖2，將繞點按順時針方向旋轉，當旋轉到與重合時停止轉動．若、分別與、相交于點、．

①在旋轉過程中，四邊形的面積是否發生變化？若不變，求四邊形的面積；若要變，請說明理由．

②如圖3，設點為的中點，連結、，若，當的長度最小時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①不變，4；② ．

【解析】

（1）證明△AEB≌△DEC（SAS），可得EB=EC，根據等腰直角三角形的性質即可解決問題．
（2）①四邊形BMEN的面積不變．證明△MEB≌△NEC（ASA），推出S△MEB=S△ENC，可得S四邊形EMBN=S△EBC．
②如圖當E，B，O共線時，OB的值最小，作GH⊥OE于H．想辦法求出BH，GH即可解決問題．

解：（1）如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴△AEB≌△DEC（SAS），
∴EB=EC，
∵∠BEC=90°，
∴∠EBC=45°．
（2）①結論：四邊形BMEN的面積不變．

理由：由（1）可知：∠EBM=∠ECN=45°，
∵∠MEN=∠BEC=90°，
∴∠BEM=∠CEN，
∵EB=EC，
∴△MEB≌△NEC（ASA），
∴S△MEB=S△ENC，
∴S四邊形EMBN=S△EBC=×4×2=4．
②如圖當E，B，O共線時，OB的值最小，作GH⊥OE于H．

∵OF=OG，∠FEG=90°，
∴OE=OF=OG=4，
∵∠F=30°，
∴∠EGF=60°，
∴△EOG是等邊三角形，∵GH⊥OE，
∴GH=2，OH=EH=2，
∵BE=2，
∴OB=4-2，
∴BH=2-（4-2）=2-2，
∴tan∠EBG= ．