Question

【題目】如圖，扇形OAB的半徑OA＝4，圓心角∠AOB＝90°，點C是弧AB上異于A、B的一點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連結DE，過點C作弧AB所在圓的切線CG交OA的延長線于點G．

（1）求證：∠CGO＝∠CDE；

（2）若∠CGD＝60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圖中陰影部分的面積為．

【解析】

（1）連接OC交DE于F，根據矩形的判定定理證出四邊形CEOD是矩形，根據矩形的性質和等邊對等角證出∠FCD＝∠CDF，然后根據切線的性質可得∠OCG＝90°，然后根據同角的余角相等即可證出結論；

（2）根據題意，求出∠COD＝30°，然后利用銳角三角函數求出CD和OD，然后根據扇形的面積公式和三角形的面積公式即可求出結論．

證明：（1）連接OC交DE于F，

∵CD⊥OA，CE⊥OB，

∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，

∴四邊形CEOD是矩形，

∴CF＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，

∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，

∵CG是⊙O的切線，

∴∠OCG＝90°，

∴∠OCD+∠GCD＝90°，

∴∠ECF＝∠GCD，

∵∠DCG+∠CGD＝90°，

∴∠FCD＝∠CGD，

∴∠CGO＝∠CDE；

（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，

∴∠DCO＝60°，

∴∠COD＝30°，

∵OC＝OA＝4，

∴CD＝2，OD＝2，

∴圖中陰影部分的面積＝﹣2×2＝π﹣2．