Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點P是AB邊上一動點，連接PD，PE，則PD+PE的長度最小值為_____．

Answer 1

【答案】4﹣4．

【解析】

根據正方形的性質得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，連接FO交AB于P，交⊙O于E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ABE+∠CBE＝90°，

∵∠ABE＝∠BCE，

∴∠BCE+∠CBE＝90°，

∴∠BEC＝90°，

∴點E在以BC為直徑的半圓上移動，

如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，

連接FO交AB于P，交半圓O于E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，OE＝4，

∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，

∴OG＝12，

∴OF＝＝4，

∴EF＝4﹣4，

∴PD+PE的長度最小值為4﹣4，

故答案為：4﹣4．