Question

【題目】如圖所示，一次函數分別交x，y軸于A，C兩點，拋物線與經過點A，C.

（1）求此拋物線的函數表達式；

（2）若P為拋物線上A，C兩點間的一個動點，過點P作直線，交直線AC于點Q，當點P運動到什么位置時，線段PQ的長度最大？求此最大長度，及此時P點坐標。

（3）在（2）條件下，直線與軸交于N點與直線AC交于點M，當N，M，Q，D四點是平行四邊行時，直接寫出D點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，PQ最大=， P（）；

（3） .

【解析】試題分析: （1）先求出A、C坐標，把A、C兩點坐標代入y＝x＋bx＋c解方程組即可．

（2）設P（a，a＋2a3），則Q（a，a3），構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題．

（3）如圖2中，分兩種情形①當MN為平行四邊形的邊時，DQ＝MN＝2，可得D1（， ），D2（，）．②當MN為對角線時，可得D3（，）．

試題解析: （1）∵一次函數y＝x3分別交x，y軸于A，C兩點，

∴A（3，0）C（0，3），把A、C兩點坐標代入y＝x＋bx＋c

得

解得，

∴y＝x ＋2x3．

（2）設P（a，a ＋2a3），則Q（a，a3），

∴PQ＝a3（a ＋2a3）＝a 3a＝（a）＋．

∴當a＝時，PQ是最大值＝，

此時P（，）．

（3）如圖2中，

∵N（1，0），M（1，2），Q（，），

∴MN＝2，

①當MN為平行四邊形的邊時，DQ＝MN＝2，

∴， ．

②當MN為對角線時，可得，

綜上所述，滿足條件的點D的坐標為 ．

點睛: 本題考查二次函數、一次函數的應用、最值問題、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．