Question

對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，
即：當n為非負整數時，如果n-

1

2

≤x＜n+

1

2

則＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
試解決下列問題：
（1）填空：①＜π＞=______（π為圓周率）；
②如果＜2x-1＞=3，則實數x的取值范圍為______；
（2）①當x≥0，m為非負整數時，求證：＜x+m＞=m+＜x＞；
②舉例說明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（3）求滿足＜x＞=

4

3

x的所有非負實數x的值；
（4）設n為常數，且為正整數，函數y=x2-x+

1

4

的自變量x在n≤x＜n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a，滿足＜

k

＞=n的所有整數k的個數記為b．求證：a=b=2n．

Answer 1

（1）①3；
②由題意得：2.5≤2x-1＜3.5，解得：

7

4

≤x＜

9

4

；

（2）①證明：設＜x＞=n，則n-

1

2

≤x＜n+

1

2

，n為非負整數；
∴(n+m)-

1

2

≤x+m＜(n+m)+

1

2

，且n+m為非負整數，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（3）∵x≥0，

4

3

x為整數，設

4

3

x=k，k為整數，
則x=

3

4

k，
∴＜

3

4

k＞=k，
∴k-

1

2

≤

3

4

k＜k+

1

2

，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，

3

4

，

3

2

．

（4）∵函數y=x2-x+

1

4

=(x-

1

2

)2，n為整數，
當n≤x＜n+1時，y隨x的增大而增大，
∴(n-

1

2

)2≤y＜(n+1-

1

2

)2，即(n-

1

2

)2≤y＜(n+

1

2

)2，①
∴n2-n+

1

4

≤y＜n2+n+

1

4

，∵y為整數，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n個y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜

k

＞=n，
則n-

1

2

≤

k

＜n+

1

2

，∴(n-

1

2

)2≤k＜(n+

1

2

)2，③
比較①，②，③得：a=b=2n．