Question

（2006•湘潭）已知：如圖，拋物線y=-的圖象與x軸分別交于A，B兩點，與y軸交于C點，⊙M經過原點O及點A、C，點D是劣弧上一動點（D點與A、O不重合）．
（1）求拋物線的頂點E的坐標；
（2）求⊙M的面積；
（3）連CD交AO于點F，延長CD至G，使FG=2，試探究，當點D運動到何處時，直線GA與⊙M相切，并請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了拋物線的解析式，用配方法和公式法求都可以．
（2）由于∠AOC是直角，那么連接AC，則AC必過圓心M，也就是說AC就是圓M的直徑，因此求出AC就可以得出圓M的半徑長，根據拋物線的解析式可求出A，C兩點的坐標，也就知道了OA，OC的長，可在直角三角形AOC中，用勾股定理求出AC，然后可根據圓的面積的計算公式求出圓M的面積．
（3）應是D到OA中點時，GA與圓M相切，要證垂直就必須證AC⊥AG，此時D是弧OA的中點，根據OC，OA的長，不難得出∠ACO=60°，那么∠FCO=∠ACD=30°，有OC=，那么可求得OF=1，AF=OA-OF=2，首先三角形AFG是個等腰三角形，而∠CFO=90-30=60°，因此∠AFG=60°，三角形AFG就是個等邊三角形，∠FAG=60°，因此∠CAG=60+30=90°，即可得出GA與圓M相切．
解答：解：（1）拋物線y=-x²-
=-（x²+2x+1）+
=-（x+1）²+
∴E的坐標為（-1，）；

（2）連AC；
∵⊙M過A，O，C，∠AOC=90°，
∴AC為⊙O的直徑．
而|OA|=3，OC=
∴r=．
∴S⊙M=πr²=3π；

（3）當點D運動到的中點時，直線GA與⊙M相切．
理由：在Rt△ACO中，|OA|=3，OC=，
∵tan∠ACO=．
∴∠ACO=60°，∠CAO=30°．
∵點D是的中點，
∴．
∴∠ACG=∠DCO=30°．
∴OF=OC•tan30°=1，∠CFO=60°．
在△GAF中，AF=2，FG=2，∠AFG=∠CFO=60°，
∴△AGF為等邊三角形．
∴∠GAF=60°．
∴∠CAG=∠GAF+∠CAO=90°．
又AC為直徑，
∴當D為的中點時，GA為⊙M的切線．
點評：本題將拋物線與圓放在同一坐標系中研究，因此數形結合的解題思想是不可缺少的，解第3小問時可以先自己作圖來確定D點的位置．