Question

【題目】如圖，已知平形四邊形ABCD中，對角線AC，BD交點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形.

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形ABCD的面積為20．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出AO=OC，由等邊三角形三線合一的性質得出EO⊥AC，即BD⊥AC，根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得出結論；
（2）由題意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，進而證得菱形是正方形，即可得出結果．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AO＝OC，

∵△ACE是等邊三角形，

∴EO⊥AC，

即 BD⊥AC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：∵△ACE是等邊三角形，

∴∠EAC＝60°，

由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，

∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，

∴∠EAO＝60°，

∵∠AED＝2∠EAD，

∴∠EAD＝15°，

∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，

∵ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴四邊形ABCD的面積＝AB2＝（2）2＝20．