Question

如圖，已知：在直角坐標(biāo)系中．點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從O點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)．B（4，2），以BE為直徑作⊙O₁．

（1）若點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)線段EF與線段OB交于點(diǎn)G，試判斷點(diǎn)G與⊙O₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在（1）的條件下，連接FB，幾秒時(shí)FB與⊙O₁相切？
（3）若點(diǎn)E提前2秒出發(fā)，點(diǎn)F再出發(fā)．當(dāng)點(diǎn)F出發(fā)后，點(diǎn)E在A點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，設(shè)BA⊥x軸于點(diǎn)A，連接AF交⊙O₁于點(diǎn)P，試問AP•AF的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變，請說明理由并求其值；若變化，請求其值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）要判斷點(diǎn)G與⊙O₁的位置關(guān)系，只需比較O₁G與⊙O₁的半徑O₁B的大小．設(shè)點(diǎn)E出發(fā)t秒，則E（t，0），F(xiàn)（0，2t），用待定系數(shù)法求出直線EF和直線OB的解析式，確定點(diǎn)G的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出O₁G與O₁B的大小，從而進(jìn)行判定．
（2）如果t秒時(shí)FB與⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF與RT△OEF中，根據(jù)EF不變列出方程，求出t的值．
（3）設(shè)點(diǎn)F出發(fā)t秒，則E（t+2，0），F(xiàn)（0，2t）；設(shè)P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-

2

t

y，即P（4-

2

t

y，y）；因?yàn)锽E為直徑，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y與t的關(guān)系，可以含t的代數(shù)式得出P的坐標(biāo)，分別計(jì)算AP，AF的長，根據(jù)結(jié)果判斷．

解答：解：（1）連接O₁G，
設(shè)點(diǎn)E出發(fā)t秒，則E（t，0），F(xiàn)（0，2t）；
設(shè)直線EF的方程為y=kx+b，則

kt+b=0 b=2t

，
∴解得

k=-2 b=2t

，
∴y=-2x+2t，
∴直線OB的方程為y=

1

2

x；
∵解方程組

y=-2x+2t y= 1 2 x

，
得

x= 4 5 t y= 2 5 t

，
∴G（

4

5

t，

2

5

t）；
∵O₁是BE的中點(diǎn)，
∴O₁（

4+t

2

，1），
∴O₁G²=（

4+t

2

-

4

5

t）²+（1-

2

5

t）²=

1

4

t²-2t+5，O₁B²=（4-

4+t

2

）²+1²=

1

4

t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，點(diǎn)G在⊙O₁上．

（2）設(shè)t秒時(shí)FB與⊙O₁相切，那么E（t，0），F(xiàn)（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5．

（3）設(shè)點(diǎn)F出發(fā)t秒，則E（t+2，0），F(xiàn)（0，2t），
設(shè)P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-

2

t

y，
∴P（4-

2

t

y，y）．
∵BE為直徑，
∴∠BPE=90°．
∵PE²+BP²=BE²
∴利用兩點(diǎn)間的距離公式把B、P、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，
∴y=

4t

t2+4

，
∴x=

4t2+8

t2+4

，
即P（

4t2+8

t2+4

，

4t

t2+4

），
∴AP²=（4-

4t2+8

t2+4

）²+（

4t

t2+4

）²，
∴AP=

4

t2+4

×

t2+4

，AF=

16+4t2

=2

t2+4

．
∴AP•AF=8，是不會(huì)發(fā)生變化的．

點(diǎn)評：本題綜合考查了切線的判定，三角函數(shù)等知識(shí)，解題中要善于抓住不變量，找到等量關(guān)系，題目有一定難度，可以考查學(xué)生的綜合實(shí)力．