Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝2，sinB＝，D為邊BC的中點，E為邊BC的延長線上一點，且CE＝BC，連結AE，F為線段AE的中點.

求：（1）線段DE的長；（2）tan∠CAE的值.

Answer 1

【答案】(1)6;(2)

【解析】試題分析：（1）連接AD，根據等腰三角形性質求出∠ADC=90°，解直角三角形求出AD，求出BD和CD，即可得出答案；
（2）過C作CM⊥AE于M，則∠CMA=∠CME=90°，在Rt△ADE中，由勾股定理求出AE，由勾股定理得出方程（2）2-AM2=42-（2-AM）2，求出AM，求出CM，即可求出答案．

試題解析：（1）連結AD，

∵AB＝AC，D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，

∵AB＝AC＝2，sin∠B＝，

∴＝，

∴AD＝4，

由勾股定理得：BD＝2，

∴DC＝BD＝2，BC＝4，

∵CE＝BC，∴CE＝4，

∴DE＝2+4＝6；

（2）過C作CM⊥AE于M，則∠CMA＝∠CME＝90°，

在Rt△ADE中，由勾股定理得；AE＝＝＝2，

∵由勾股定理得；CM2＝AC2－AM2＝CE2－EM2，

∴(2)2－AM2＝42－(2﹣AM)2，解得：AM＝，

CM＝＝＝，

∴tan∠CAE＝＝＝．