Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝mx2－2mx＋m－1(m＞0)與x軸的交點為A，B，頂點為C，將拋物線在A，C，B之間的部分記為圖象E(A，B兩點除外)．
（1）求拋物線的頂點坐標．
（2）AB＝6時，經過點C的直線y＝kx＋b(k≠0)與圖象E有兩個交點，結合函數的圖象，求k的取值范圍．
（3）若橫、縱坐標都是整數的點叫整點．
①當m＝1時，求線段AB上整點的個數；
②若拋物線在點A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區域內(包括邊界)恰有6個整點，結合函數的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

C(1，－1).

（2）

AB＝6時，拋物線與x軸的兩個交點分別是(－2，0)，(4，0)，又因為頂點為(－1，1)，當直線經過C與A，C與B時，分別解得k＝ ，所以k的取值范圍為 ＜k＜0，或0＜k＜ .

（3）

①當m＝1時，拋物線表達式為y＝x2－2x，因此A、B的坐標分別為(0，0)和(2，0)，則線段AB上的整點有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個.

②拋物線頂點為(1，－1)，則指定區域的整點的縱坐標只能為－1或者0，所以即要求AB線段上(含AB兩點)必須有5個整點；

令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點坐標分別為( ，0)，( ，0)，即5個整點是以(1，0)為中心向兩側分散，

進而得到2≤ ＜3，所以 ＜m≤ .

【解析】（1）y＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
則頂點C(1，－1).
（2）因為y＝mx2－2mx＋m－1=m(x-1）2-1，
所以對稱軸為直線x=1,
因為AB＝6，所以拋物線與x軸的兩個交點分別是(－2，0)，(4，0)，
因為直線y＝kx＋b(k≠0)過C（1，-1）點，則y=kx-k-1,
當直線經過（-2,0）時，代入得-2k-k-1=0,
解得k=；
當直線經過（4,0）時，代入得4k-k-1=0,
解得k=.
綜上所述，因為圖象E不包括A，B，則 ＜k＜0，或0＜k＜ .
（3）①當m＝1時，拋物線表達式為y＝x2－2x，
因此A、B的坐標分別為(0，0)和(2，0)，
則線段AB上的整點有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3個.
②拋物線頂點為(1，－1)，
則指定區域的整點的縱坐標只能為－1或者0，
所以即要求AB線段上(含AB兩點)必須有5個整點；
令y＝mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B兩點坐標分別為( ，0)，( ，0)，即5個整點是以(1，0)為中心向兩側分散，分別為（-1,0），（0,0），（1,0），（2,0），（3，0），
則-2< ≤-1,
進而得到2≤ ＜3，
所以 ＜m≤ .
（1）根據頂點公式（），代入相應值計算即可或者配成頂點式；
（2）圖象E指的是A，B，C之間所構成的圖象，根據C（1.-1）可求出b，根據與圖象E有兩個交點可求出k的聚值范圍；要理解當k>0時，隨著k的增大，直線與x軸的正半軸的較小的夾角會越來越大；當k<0時，隨著k的增大，直線與x軸的正半軸的較小的夾角會越來越小；
（3）①根據m的值可求出A，B的坐標，即可得到線段AB的整點坐標，包括A點和B點；
②因為二次函數的最小值是-1,而在拋物線在點A，C，B之間的圖象E與線段AB所圍成的區域內(包括邊界)中是-1≤y<0的，除了（1，-1），所以其他整點一定在線段AB上.