Question

（本題滿分12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E.

【小題1】（1）求證：點E是邊BC的中點；（4分）
【小題2】（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直徑AC的長度；（4分）
【小題3】（3）若以點O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形，試判斷△ABC的形狀，并說明理由. （4分）

Answer 1

【小題1】（1）證明：連接DO，

∵∠ACB=90°，AC為直徑， ∴EC為⊙O的切線，
又∵ED也為⊙O的切線， ∴EC=ED.    （2分）
又∵∠EDO=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°，
又∵∠B+∠A=90° ∴∠BDE=∠B， ∴EB=ED.
∴EB=EC，即點E是邊BC的中點.   
【小題2】（2）∵BC，BA分別是⊙O的切線和割線，
∴BC²=BD·BA， ∴（2EC）²= BD·BA，即BA·=36，∴BA=，   （6分）
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC===.
【小題3】（3）△ABC是等腰直角三角形.   （9分）
理由：∵四邊形ODEC為正方形， ∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，
又∵點E是邊BC的中點， ∴BC=2OD=AC, 
∴△ABC是等腰直角三角形.     （12分）

解析