Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的三個頂點分別是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．拋物線y=x2+bx+c經過點C，且對稱軸為x=﹣，并與y軸交于點G．

（1）求拋物線的解析式及點G的坐標；

（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，然后將三角形繞點E順時針旋轉α°得到△DEF．若點F恰好落在拋物線上．①求m的值；

②連接CG交x軸于點H，連接FG，過B作BP∥FG，交CG于點P，求證：PH=GH．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x，點G（0，-）；（2）①；②證明見解析.

【解析】試題分析：（1）把點C坐標代入y=x2+bx+c得一方程，用對稱軸公式得另一方程，組成方程組求出解析式，并求出G點的坐標；（2）①作輔助線，構建直角△DEF斜邊上的高FM，利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示F的坐標，根據點F在拋物線上，列方程求出m的值；②F點和G點坐標已知，可以求出直線FG的方程，那么FG和x軸的交點坐標（設為Q）可以知道，C點坐標已知，CG的方程也可以求出，那么H點坐標可以求出，可以證明△BPH和△QGH全等．

試題解析：（1）根據題意得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y=x2+x﹣，點G（0，﹣）；

（2）①過F作FM⊥y軸，交DE于M，交y軸于N，

由題意可知：AC=4，BC=3，則AB=5，FM=，

∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個單位，使B點移到點E，

∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，FN=﹣（4﹣m）=m﹣，

在Rt△FME中，由勾股定理得：EM==，

∴F（m﹣， ），

∵F拋物線上，

∴=（m﹣）2+（m﹣）﹣，

5m2﹣8m﹣36=0，

m1=﹣2（舍），；

②F（， ），

∴F（2， ），

易求得FG的解析式為：y=x﹣，

CG解析式為：y=﹣x﹣，

∴x﹣=0，x=1，則Q（1，0），

﹣x﹣=0，x=﹣1.5，則H（﹣1.5，0），

∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，

∴BH=QH，

∵BP∥FG，

∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，

∴△BPH≌△QGH，

∴PH=GH．