Question

已知二次函數(shù)y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求證：拋物線y=x²–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點(diǎn)；
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,若，求拋物線的表達(dá)式；
（3）以（2）中的拋物線上一點(diǎn)P（m,n）為圓心，1為半徑作圓，直接寫出：當(dāng)m取何值時，x軸與相離、相切、相交.

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）當(dāng)或時，x軸與相離.；
當(dāng)或或時，x軸與相切； 當(dāng)或時，x軸與相交.

解析試題分析：（1）令y=0，得到一個關(guān)于字母x的一元二次方程，求出此方程的判別式的值為，根據(jù)k>2，可得，即可得到答案.
（2）令，有；解得：. 根據(jù)k的取值以及點(diǎn)A、B的位置確定 ；由拋物線與y軸交于點(diǎn)C得：；根據(jù)Rt中∠OAC的正切值求得k的取值，進(jìn)而可得拋物線的表達(dá)式.（3）根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系是由圓心到直線的距離和圓的半徑確定的，當(dāng)⊙P與x軸相切時，即y=±1；根據(jù)相切時m的取值即可作出判斷，注意分類討論.
試題解析：
（1）證明：∵，
又∵，
∴.
∴即. 
∴拋物線y = x² – kx + k - 1與x軸必有兩個交點(diǎn).
(2) 解：∵拋物線y = x² – kx + k -1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令，有.
解得：. 
∵，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
∴.
∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C,
∴.
∵在Rt中, ,
∴,  解得.
∴拋物線的表達(dá)式為.
（3）解：當(dāng)或時，x軸與相離. 
當(dāng)或或時，x軸與相切.
當(dāng)或時，x軸與相交.
考點(diǎn)：1、根的判別式；2、求二次函數(shù)的解析式；3、直線與圓的位置關(guān)系.