Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D。

(1)求證：AC平分∠DAB；
(2)連接BC，證明∠ACD=∠ABC；
(3)若AB=12cm，∠ABC=60°，求CD的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

試題分析：（1）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論．
（2）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得到∠ACO=∠CAO，因為∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，所以∠ACD=∠ABC；
（3）在直角△ABC中，利用三角函數求得AC的長，然后在直角△CAD中，利用三角函數即可求得CD的長．
試題解析：連接OC，

∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
即AC平分∠DAB．
（2）∵直線l與⊙O相切于點C，
∴OC⊥CD；
又∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO；
又∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ABC+∠CAO=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°
∴直角△ABC中，AC=AB•sinA=12×=，∠BAC=30°
∴在直角△CBD中，∠CBD=∠BAC=30°，CD=AC=．
考點: 1.切線的性質；2. 圓周角定理．