Question

如圖：在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=4，點O是AC的中點；回答下列問題：

（1）∠BAC=     °
（2）畫出將△ABC繞點O旋轉180°得到的△A₁DC₁(A→A₁ B→D  C→C₁），寫出四邊形ABCD的形狀。
（3）尺規作圖：在圖中作出△ABC的高線AE（保留作圖痕跡），并回答在四邊形ABCD的邊上（點A除外）是否存在點F，使∠EAC=∠EFC; 若存在點F，寫出這樣的點F一共有幾個？并直接寫出DF的長。若不存在這樣的點F，請簡要說明理由。

Answer 1

（1）90⁰；（2）平行四邊形；（3）存在一個這樣的點，.

試題分析：（1）已知三角形三邊長度，易用勾股定理的逆定理判定該三角形為直角三角形.（2）根據旋轉的性質作圖后,由旋轉的性質易得AB//CD、AD//BC，故四邊形ABCD是平行四邊形；（3）可以把∠EAC看做是弧BC的圓周角，則點E、A、C三點共圓，根據AE⊥BC，可知AC是圓的直徑，故以點O為圓心，以AC為直徑作圓，圓與四邊形ABCD的邊的交點即為所求點F，此時易得∠AFC=90⁰；因為△ADC是△ABC繞點O旋轉得來的，可根據三角形的面積及勾股定理求得CF、AF的長度，進而可得DF的長度.
試題解析：
解：（1）∵在△ABC中，AB=2，BC=，AC=4，
∴；
∴
∴
（20如下圖所示，△A₁DC₁即為所求△.由旋轉可得：∠BCA=∠DAC；∠BAC=∠DCA
∴AB//CD；AD//BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形.

如上圖所示，AE即為所求高線，有一個符合條件的點，點F即為所求點.
∵∠AEC=90⁰，點O是AC的中點
∴點E、A、C三點共圓，且點O為圓心，AC為⊙O的直徑，
∴∠EAC=∠EFC；∠AFC=90⁰
∵△ADC是△ABC繞點O旋轉得來的，
∴AD=BC；CD=AB
∴
∴
∴.